MI AULA: RAZONAMIENTOS CON NÚMEROS

RAZONAMIENTOS CON NÚMEROS

1) Escribí en la calculadora el número 3.458.371.

a) Haciendo exactamente 7 restas obtengan el 0, sin borrar nada.

b) ¿Cómo harían para obtener 0 haciendo exactamente 3 restas, sin borrar nada? ¿Y dos restas?

2) Haciendo exactamente seis sumas con la calculadora obtené el número 245.976.

3) Escriban tres sumas que permitan obtener cada número. Por ejemplo: 23.974 = 23.000 + 974 = 20.000 + 3.000 + 900 + 74 = 23.900 + 70 + 4. a) 134.431 = b) 2.450.875 =

4) ¿Qué cálculos hacer para que cambie cada cifra en el número 37.892? (sacar flechas de cada cifra y que remita a un espacio para escribir)

5) En el número 234.567, el 3 ¿representa 3, 3.000, 30.000 o 300.000?

6) Resolvé mentalmente los siguientes cálculos:

2.050´10 = 34.405´100 = 105´1.000 = 2.050´100 =

102´1.000.000 = 4.030 ´ 10 = 300.000:10= 300.000:1000= 300.000:1000=

7) Una fábrica de pantalones confeccionó 40.300 pantalones. Para hacer el reparto los guardan en cajas de 10 pantalones cada uno. ¿Cuántas cajas necesitan?

8) Para un sorteo, se vendieron todas los números de los 345 talonarios que se disponían. Si en cada uno había 100 números, ¿cuántas rifas se vendieron?

9) Una fábrica textil confeccionó 20.500 remeras.

a. Si las guardaran en cajas de 10 remeras cada una. ¿Cuántas cajas necesitarían?

b. ¿Cuántas cajas hubieran necesitado si en cada una hubieran guardado 100 remeras?

c. ¿Y si fueran mil en cada caja?

d. Sin hacer la cuenta, decidí cuál es el resto de cada una de las siguientes divisiones:

20.500 : 10 20.504 : 10 20.500 : 100 22.543 : 100 20.500 : 1.000 345.678 : 100.000

e. Decidí si la siguiente afirmación es correcta o no y por qué:

Como 123 ´ 1.000 + 984 = 123.984 entonces 123.948 : 1.000 tiene resto 984.

f. Decidí cuál es el resto de cada cálculo, sin hacer la cuenta:

1.234 : 10 1.234 : 100 1.234 : 1.000 34.567 : 100 34.567 : 1.000 34.567 : 10.000

g. Completá la siguiente tabla de divisiones por 10, 100 y 1.000:

Dividendo	Divisor	Cociente	Resto
13.456	100
	1.000	43	900
783.457	10
89.345		893	45
4.506.908	1.000

h. ¿Será cierto que 15 cajas con 100 tizas cada una alcanzan para darle 10 a cada uno de los 150 maestros de 10 escuelas?

10) a) ¿Cómo le explicarían a un compañero que el resto de 1.234 : 100 es 34, sin hacer la cuenta? ¿Les sirve saber, para la explicación, que 12 ´ 100 = 1.200?

b) Inventá una cuenta de dividir por 1.000, cuyo resto sea 999

c) ¿Cómo obtener el resto de dividir un número cualquiera por 10, por 100, por 1.000, etc.?

11) ¿Qué cifra cambiaría al sumar o restar 10.000 al número 9.876.543?

12) ¿Cuántas veces se puede restar 100 al número 678.300, hasta llegar al 0?

13) Inventá una cuenta de dividir por 100 de manera tal que el resto sea 28. ¿Habrá una sola?

14) Se colocaron 34 filas de plantas de zapallo, con 14 plantas en cada una. Para la siguiente cosecha se quiere cuadruplicar la cantidad de plantas. Señalá cuál o cuáles de estas formas permitirá lograrlo.

___cuadruplicar la cantidad de filas ___cuadruplicar la cantidad de plantas por fila.

___duplicar la cantidad de filas ___duplicar la cantidad de plantas por fila.

___duplicar la cantidad de filas y de plantas por fila.

15) En una confitería, para bañar los bombones de chocolate, los colocan sobre una plancha de acero inoxidable. En cada plancha entran 28 filas de 20 bombones cada una. Consiguieron una plancha más grande donde entran 12 filas completas más.

Marcá el o los cálculos que permiten averiguar cuántos bombones entran en total en la plancha más grande. Después hacé las cuentas para verificar. 28 x 20 + 12 x 20 28 x 12 + 20 (28 + 12) x 18

16) a) Para hacer una frazada de una plaza, se necesitan 252 cuadrados tejidos. En cada fila entran 14 cuadrados, ¿cuántas filas de cuadrados hay que tejer para completar la frazada?

b) Se decide hacer la frazada más ancha colocando 6 cuadrados más por fila. ¿Cuál será la cantidad total de cuadrados de esta frazada?

17) En la farmacia reciben el alcohol en cajas de 35 botellas. Esta semana les entregaron 427 botellas. Cada caja estaba llena con el máximo de botellas posible.

a) ¿Cuántas cajas fueron necesarias para entregar todas las botellas de alcohol?

b) ¿Cuántas botellas de alcohol tendrían que pedir para que les entreguen todas las cajas completas?

c) Si se resuelve con calculadora, el problema a) da 12,2. ¿Quiere decir que son 12,2 cajas?

18) Joaquín tiene depositados en el banco $876. Si extrae del cajero automático $32 por día, ¿para cuántos días le alcanza?, ¿cuánto debería tener depositado para que le alcance justo?

¿Cuánto tendría que haber cobrado Joaquín para que le alcance para un día más?

19) Desde el número 4908 se resta de 18 en 18 ¿Cuál es el último número que se dice antes del 0? ¿Cuántas restas pueden hacerse?

20) En una plantación de pinos se colocan 123 filas de 54 pinos que una. El año próximo se quieren plantar 35 filas menos. Marcá el o los cálculos que permiten averiguar cuántos pinos tendrá la próxima plantación:

123x54 – 35x54 123x35 – 54 (123-35) x 54

21) a) En un cine hay 1320 butacas distribuidas en 55 filas. ¿Cuántas butacas tiene cada fila?

b) Si agregan 16 butacas por fila, ¿cuántas butacas tendrá en total?

22) Para el cumpleaños de Joaquín prepararon 100 empanadas. Cada invitado comió 3 y sobró 1 empanada. ¿Cuántos invitados había en la fiesta?

23) En la calculadora la división 155 : 4 da como resultado 38,75. Usando la calculadora, intentá averiguar cuál sería el resto de esta división si solo se trabajara con números naturales. Escribí los cálculos que hiciste.

24) a) Al dividir un número por 8, se obtuvo 16 y un resto de 5. ¿Qué número se dividió?

b) ¿Cuáles podrían ser los números que divididos por 8, permitieran obtener cociente 16 y resto diferente de 5?

25) Completá, si es posible, los números que faltan en estas cuentas.

	9		85
12				7

26) Resolvé de tres maneras diferentes los siguientes cálculos: 36 x 60 = 27 x 30 = 45 x 40 =

27) ¿Son correctas estas formas de resolver el cálculo 15 x 40?

Magui: Hice 15 x 4 y al resultado le agregué un 0. Charo: 15 x 10 x 4

Belén: 15 x 2 x 2 x 10 Renu: 40 x 10 + 5

28) Sabiendo que 45 x 18 = 810, calculá: 15 x 18 = 450 x 9 = 90 x 180 = 150 x 36 =

29) Manuel está usando la calculadora pero no funciona la tecla del 4. ¿Cómo puede resolver estos cálculos? 1.675 x 24 = 2.856 x 4 x 2 =

30) Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

Para resolver 9 x 56 es lo mismo hacer el triple de 3 por 5 + el triple de 3 por 6
Para resolver 12 x 56 se puede hacer el doble de 6 x 56
Para resolver 12 x 56 es posible hacer el triple de 4 por 50 y al resultado sumarle 6
Para resolver 12 x 56 se puede hacer 10 x 56 + 2 x 56
Para hacer 50 x 56 es equivalente hacer el doble de 25 x 56
Para hacer 50 x 56 se puede hacer 5 x 10 x 56

31) Para resolver 864 x 36, Pierina hizo lo siguiente: 864 x 30 + 864 x 6. En cambio, Clara hizo así: 864 x 6 x 6. ¿Serán ambos correctos? Intenten explicar qué fue lo que hizo cada uno

32) Analizar si los resultados de los cálculos que se presentan a continuación tienen el mismo resultado que 324 x 42. Justificá tus respuestas usando las propiedades de las operaciones y sin hacer cuentas.

300x42+20x42+4x42 324x43–324x1 324x50–324x8 324x21x2 324x40+2=

33) Renata resolvió correctamente la siguiente cuenta. ¿Qué propiedades de la multiplicación usó?

214

x 25

4280

1070

5350

34) Colocá V o F sin hacer la cuenta. Justificá tu respuesta.

273x32=273x30+273x2 273x32=32x273 273x32=273x8x4 273x32=273x8+273x4

35) Explicá por qué son incorrectos los siguientes razonamientos:

67 x 18 = 60 x 10 + 7 x 8 67 x 18 = 67 x 10 x 8

36) Completá la siguiente tabla

Cálculo	Cociente	Resto
450 : 10
34.000 : 100
55 : 10
6.325 : 1000

37) Explicá por qué Clara dice que para hacer 180:3 pueden hacer 18 : 3 = 6 y después agregarle el 0.

38) Usando 588 : 7 = 84 resolvé mentalmente los siguientes cálculos y después comprobá con la calculadora: 5880: 7 588.000 : 70 5880 : 84

39) Para realizar el cálculo 468 : 12 Lucila y Marga usaron una calculadora en la que no anda la tecla del 2. Lo pensaron así:

Lucila: Como 6 x 2 = 12, hice 468 : 6 y después lo dividí por 2 .

Marga: Como 6 + 6 = 12 hice 468 : 6 y 468 : 6 y después sumé los dos resultados.

¿Alguna llegó al resultado correcto? ¿Por qué?

40) Para realizar el cálculo 4.865 : 15 Soledad dividió 4.865 por 5 y al resultado lo dividió por 3. ¿Obtendrá el resultado correcto?

41) Determiná si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Justificá tus respuestas sin hacer cuentas.

918 : 54 = 918 : 50 y el resultado dividido 4 918 : 54 = 918 : 9 y luego dividido 6

918 : 54= 864 : 54 + 54 : 54

42) Estos chicos anotaron estos cálculos para resolver 1.625 : 25. ¿Quién llegó al resultado correcto? Justificá tus respuestas sin hacer cuentas.

a. Diego primero resolvió 1.625 : 5, al resultado lo dividió por 5.

b. Martín primero resolvió 1.625 dividido 10, luego 1625 dividido 10 y 1625 : 5. Luego sumó todo.

c. Daniel hizo así: 1000 : 25 + 600 : 25 + 25 : 25

43) Proponé una manera de resolver 180 : 15 si no funcionan las teclas del 0 y del 8 en la calculadora

Busquen entre todos diferentes formas correctas de resolver 1800: 30. Anoten también algunas que resulten incorrectas.

44) Para resolver 8 x 5 + 12 : 4, Juana usó una calculadora común y le dio 13. En cambio, Sofía usó su calculadora científica y le dio 43. Explicá cómo resuelve el cálculo cada una de las calculadoras. ¿Cuál es la forma que conduce al resultado correcto?

45) a) Resolvé estos cálculos usando la calculadora común, pero controlando de manera de llegar al resultado correcto: 22 x 44 + 13 x 25 – 93 : 3 46 + 52 : 2 - 24 x 3

b) Escribí los cálculos parciales que hiciste, en el orden en que los resolvería una calculadora científica.

46) Joaquín resolvió este cálculo de la siguiente manera: 4 x 7 + 8 x 9 = 4 x 15 x 9 = 540. ¿Es correcto? ¿Por qué?

47) ¿En qué orden se resuelven los cálculos donde aparecen multiplicaciones, divisiones, sumas y restas, si no hay paréntesis que lo indiquen?

48) Resolvé estos cálculos sin hacer las cuentas. Después comprobá los resultados con la calculadora.

2.600 x 14 =	2.600 x 140 =
3.200 x 20 =	320 x 200 =
10.101 x 80 =	101.010 x 800 =

49) Escribí tres formas correctas de resolver 15 x 34 y dos incorrectas. Podés apoyarte en las propiedades de la multiplicación de la página 35. Indicá qué propiedades usaste.

50) Resolvé estos cálculos sin hacer las cuentas. Comprobá el resultado con la calculadora.

960 : 3 =	77.777 : 7=
684 : 2 =	90.000 : 3 =
848 : 4 =	66.006 : 2 =

51) ¿Cuál de los siguientes cálculos es correcto para resolver 3 x 9 + 4 x 6 + 12 : 3 + 3?

3 x 13 x 18 : 6 27 + 24 + 4 + 3

52) Subrayá en los siguientes cálculos las operaciones que resolvería primero una calculadora científica: 17 x 2 – 3 x 6 + 15 : 3 24 : 6 + 18 : 3 + 44 : 11

53) Resolvé estos cálculos usando la calculadora común, pero controlando de manera de llegar al resultado correcto: 78 : 3 – 5 x 5 32 x 21 + 12 x 34 + 6

54) Analizá esta lista de cálculos y completá el cuadro. Justificá tus respuestas usando las propiedades de las operaciones.

¿Cálculos iguales?	Verdadero o Falso	¿Por qué?
840 x 18 = 800 x 10 + 40 x 18
840 x 18 = 840 x 10 + 840 x 8
840 x 18 = 840 x 9 x 2
840 x 18 = 840 x 9 x 9

55) Lucía, para resolver 129 x 35 hizo lo siguiente 129 x 35 = 129 x 30 + 129 x 5. ¿Les parece correcto? ¿Por qué?

56) Sabiendo que 70 x 16 = 1.120, calculá: 35x16 = 700x8 = 140x160 = 350 x 32 =

57) Lautaro está usando la calculadora pero no funciona la tecla del 8. ¿Cómo puede resolver estos cálculos? 1.735 x 28 = 1.948 x 8 x 2 =

58) Completá la siguiente tabla

Cálculo	Cociente	Resto
130 : 10
36.000 : 100
76 : 10
3.578: 1000

59) Usando 378 : 6 = 63 resolvé mentalmente los siguientes cálculos y después comprobá con la calculadora: 378 : 63 = 3.780 : 6 = 378.000 : 60 = 3.780 : 126 =

60) Analizá esta lista de cálculos y completá el cuadro. Justificá tus respuestas usando las propiedades de las operaciones.

¿Cálculos iguales?	Verdadero o Falso	¿Por qué?
465 : 28 = 400 : 28 + 65 : 28
465 : 28 = 465 : 20 + 465 : 8
465 : 28 = 465 : 7 : 4
465 : 28 = 465 : 20 : 8

61) Dante está usando la calculadora pero no funciona la tecla del 6. ¿Cómo puede resolver estos cálculos? 348 : 16 = 646 : 12 =

62) Jero tiene que hacer el cálculo 1.956 : 24 con su calculadora pero no funciona la tecla del 2. Ella dice que puede hacerlo dividiendo por 8 y después dividiendo por 3 ¿Te parece que tiene razón? ¿Por qué?

63) ¿Es correcto resolver 125 x 19 calculando 125 x (16 + 4 – 1)? Explicá por qué.

64) Sin hacer la cuenta decidí en cada caso a qué resultado se aproxima más el cociente. ¿Cómo te diste cuenta? Luego, verificá con la calculadora.

Cálculo	Cociente más cercano	¿Cómo te diste cuenta?
825 : 25	10 20 30 40
7200 : 77	70 80 90 100

65) Sin hacer la cuenta decidí en cada caso cuál es el resultado más cercano. ¿Cómo te diste cuenta? Luego, verificá con la calculadora.

Cálculo	Señalá el más cercano	¿Cómo te diste cuenta?
420 x 130	5400 54.000 42.000
8.640 : 44	100 200 500

66) Escribo un número en la calculadora. Lo multiplico por 12. Obtengo 120. ¿Qué número escribí?

67) En los siguientes cálculos se borraron algunos números. Completalos.

...... x 16 = 340 ........ : 11 = 48 ........... x 14 = 630 ........ : 18 = 46

68) Pienso un número. Lo divido por 5 y obtengo 20 como cociente y resto 3. ¿Qué número pensé?

69) Sabiendo que 13x25=325, resolvé los siguientes cálculos sin hacer las cuentas: 325:13 325 : 25

70) Para resolver 24 x 5 = 120, Paloma hizo este cálculo 240 : 2 = 120.

a. ¿Cómo lo habrá pensado?

b. Resolvé los siguientes cálculos como lo hizo Paloma: 64 x 5 62 x 5 33 x 5 47 x 5

c. ¿Cómo se podrían resolver estos cálculos, de manera similar? 46 x 50 = 28 x 500 =

71) a) Entre todos escriban consejos para multiplicar por 5, por 50 y por 500.

b) ¿Se podrá pensar en algunos consejos para la división por 5, por 50 y por 500?

72) A partir del resultado de esta división 6.500 : 50 = 130 ¿cómo podrías resolver los siguientes cálculos sin hacer las cuentas? 6.500 : 130 = 130 x 50 = 3.250 : 50

73) A partir de la siguiente cuenta de dividir, buscá dos dividendos de modo que, al dividirlos por 9, el resto sea 0.

173 9

83 19

74) Marcá con una cruz el o los pares de números que son soluciones posibles para completar esta cuenta.

24
	2

Divisor 12 resto 0 Divisor 9 resto 6 Divisor 6 resto 12 Divisor 11 resto 2

Divisor 8 resto 8 Divisor 10 resto 4 Divisor 7 resto 10

75) Completá el dividendo y el divisor de esta cuenta. ¿Hay más de una posibilidad?


5	9

76) a) ¿Cómo hicieron para que cambie el resto en cada una de las cuentas del problema 74?

b) ¿Por qué Divisor 8 y Resto 8 no puede ser solución para el problema 74?

c) ¿Cuántas respuestas posibles encontraron para el problema 74? ¿Y para el problema 75?

d) ¿Se puede completar la cuenta del problema 74 con 41 en el dividendo y 4 en el divisor?

77) a) ¿Es posible que en una cuenta de dividir, el dividendo sea 36, el cociente 14 y el resto 1? ¿Por qué?

b) Cambiá el valor del dividendo para poder resolver la cuenta del punto a.

c) Cambiá el valor del resto para poder resolver la cuenta del punto a.

78) Sin hacer las cuentas completá el siguiente cuadro ¿Cuántas cifras tendrá el cociente en cada caso? Explicá cómo te diste cuenta.

	1 cifra	2 cifras	3 cifras
24.830 : 12
4.652 : 43
26.310 : 25
33.482 : 22

79) Escriban dos divisiones para las cuales se pueda saber el resultado, sin hacer las cuentas, pero usando el resultado de 36 x 12 = 432.

80) Si 36 x 12 = 432, ¿será cierto que al hacer 433: 12, el resto será 1?

81) Sin hacer las cuentas completá el siguiente cuadro ¿Cuántas cifras tendrá el cociente en cada caso? Explicá cómo te diste cuenta.

	1 cifra	2 cifras	3 cifras
6.983 : 56
23.580 : 24

82) a) Si escribís la escala ascendente de 5 en 5 partiendo del 0, ¿llegás justo al número 100? ¿Y al 1266? Explicá cómo te diste cuenta.

b) ¿Y si fuera de 3 en 3?

83) Para realizar una caminata por la montaña el guía organiza grupos en diferentes turnos. Si arman grupos de 5 no sobra ninguno, si arman grupos de 10 tampoco sobra ninguno. ¿Cuántos turistas querían realizar la caminata si había entre 50 y 100? ¿Hay una única posibilidad?

84) Si se desciende por una escalera de 45 escalones bajando de 3 en 3:

a. ¿En qué escalones pisa? ¿Llega justo al final?

b. ¿Y si la escalera tuviera 49 escalones llega justo al final?

85) ¿Cuánto hay que sumarle a cada uno de estos números para llegar al múltiplo de 5 más cercano? Explicá cómo lo pensaste. 2.137 3.025 71.531

86) Sabiendo que 930 : 15 = 62 y, sin hacer la cuenta, señalá los cálculos que estás seguro que dan resto 0. Explicá cómo lo pensaste. 930 : 62 930 : 30 930 : 31 930 : 18

87) ¿Se podrá saber cuánto hay que sumarle a estos números para llegar al múltiplo de 9 más cercano? Expliquen cómo lo pensaron. 236 782 4.633

88) Piensen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas e intenten explicar cómo lo pensaron

a. Todos los números que dan resto 0 al dividirse por 2 también dan resto 0 cuando se los divide por 4

b. Todos los números que dan resto 0 al dividirse por 6, dan resto 0 al dividirse por 2

c. Todos los múltiplos de 8 dan resto 0 al dividirse por 4

d. Si un número da resto 0 al dividirse por 5 entonces es múltiplo de 10

e. No hay ningún múltiplo de 7 que dé resto 0 al dividirse por 4.

f. Todos los múltiplos de 12 dan resto 0 al dividirse por 6..

89) Lean las siguientes afirmaciones verdaderas e intenten explicar por qué lo son.

Si se suman dos números que son múltiplos de 4, el resultado también es múltiplo de 4.

Si un número es múltiplo de 6 entonces es múltiplo de 3.

Si un número es divisor de 15 entonces también es divisor de 45

Sin hacer cuentas, decidir si es verdad que 3 es el divisor común mayor entre 42 y 72.

90) ¿Será cierto que la suma de dos números, uno múltiplo de 5 y otro múltiplo de 2, es múltiplo de 7?

91) Sabiendo que 36 x 12 = 432 decidí cuáles de las siguientes divisiones tienen resto 0

432 : 36 432 : 24 432 : 13 432 : 27

92) Decidí cuáles de estas afirmaciones son verdaderas y cuáles falsas.

187 es múltiplo de 5 960 es múltiplo de 2 144 es múltiplo de 3 145 es múltiplo de 3

93) Decidí si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas intentando no hacer cuentas escritas. Explicá cómo te diste cuenta.

	V o F	¿Cómo te diste cuenta?
5 es divisor de 95
8 es divisor de 8000
10 es divisor de 10001
4 es divisor de 100

94) Completá la tabla.

¿Será cierto que...	SI o NO
1.575 es divisible por 5?
375 es divisible por 3?
666.666 es divisible por 3?
789.421 es divisible por 2?
2500 es divisible por 4?
2500 es divisible por 8?

95) ¿Son verdaderas estas afirmaciones?

Un número es siempre divisible por 1 y por sí mismo.

Si un número termina en 5 entonces es divisible por 5.

Un número es divisible por 10 cuando termina en 0.

96) ¿Se podrá pensar un criterio de divisibilidad por 100?

97) ¿Será verdad que un número si es divisible por 4 y por 2 entonces es divisible por 8?

98) Sin hacer la cuenta averiguá el resto de estas divisiones: 22.222:2 6.665:3 105.268:5 2.784:4

99) Justificar, sin hacer divisiones, que el resto de 8888889:8 es 1

100) ¿Será verdad que si un número es divisible por 8 lo es por 16? ¿Y si es divisible por 16, lo será por 8?

101) ¿Será verdad que 5 es divisible por 2 pues 5 : 2 = 2,5 y el resto es 0?

102) Si a un número lo divido por 2 y da resto 0 y al cociente lo divido nuevamente por 2 y da resto 0 y una vez más lo divido por 2 y da resto 0, entonces ese número es divisible por 8. ¿Estás de acuerdo?

103) Charo leyó esta afirmación: “Todo número de dos cifras que termina en 2 es divisible por 2” Luego se hizo esta pregunta: “¿Y si el número termina en 3 es divisible por 3?” Respondé la pregunta de Charo.

104) Sabiendo que 25 x 12 = 300, y sin hacer cuentas, ¿pensás que será cierto que si multiplicamos el doble de 25 por la mitad de 12 se obtiene el mismo resultado? ¿Cómo te diste cuenta? ¿Y 30 x 18 será igual que 60 x 9?